くふうすることによって計算が簡単になることがあります。例えば、

$　57×33+57×67$　共通因数 $57$ をくくり出す

$=57×(33+67)$

$=57×\textcolor{blue}{100}$

$=\textcolor{blue}{5700}$

展開や因数分解の考え方を利用する問題の中で良く出る $3$ つのパターンを確認していきましょう。

【問題】$\textcolor{green}{101^2}$ をくふうして計算しなさい。　　

まずは $101$ を簡単な数字の和（差）の形で表します。

→$\textcolor{blue}{(100+1)^2}$

その後、乗法公式② $\textcolor{blue}{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$ を使って展開

$　(100+1)^2$

$=100^2+2×100×1+1^2$

$=10000+200+1$

$=\textcolor{red}{10201}$

【問題】$\textcolor{green}{105×95}$ をくふうして計算しなさい。

まずは $105$ と $95$ を簡単な数字の和（差）の形で表します。

→$105:(100+5)　95:(100-5)$

その後、乗法公式④ $\textcolor{blue}{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$ を使って展開

$　105×95$

$=(100+5)×(100-5)$

$=100^2-5^2$

$=10000-25$

$=\textcolor{red}{9975}$

【問題】 $\textcolor{green}{57^2-43^2}$ をくふうして計算しなさい。

ここでは、初めに因数分解公式③ $\textcolor{blue}{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$ を使って因数分解をします。

$　57^2-43^2$

$=(57+43)(57-43)$

$=100×14$

$=\textcolor{red}{1400}$