$\sqrt{ }$ やπといった無理数でも、整数部分については、はっきりわかります。

$\pi ＝3.14159$　・・・　整数部分 $3$

$\sqrt{2}=1.41421$　・・・　整数部分 $1$　

では、小数部分はどうでしょうか？

これは無限に続いているのではっきりわかりません。

そこで次のように表します。

小数部分 → 元の数 $-$ 整数の部分

例えば、$\sqrt{2}$ であれば、その小数部分は$\sqrt{2}-1$ と表すことができます。

$\sqrt{5}=2.2360679$・・・なので、その整数部分は $2$ 、小数部分は $\sqrt{5}-2$ となりますが、例えば $\sqrt{30}$ や $\sqrt{60}$ では近似値がわからないので、整数部分がわかりません。そういうときは、数直線で整数部分を考えましょう。

$\sqrt{30}$ は $5(=\sqrt{25})$ と $6(=\sqrt{36})$ の間にあるので、その整数部分は $5$ になります。

$\sqrt{60}$ は $7(=\sqrt{49})$ と $8(=\sqrt{64})$ の間にあるので、その整数部分は $7$ になります。

【問題】$\sqrt{2}$ の整数部分を $x$ 、小数部分を $y$ とするとき、$x^2-y^2$ の値を求めなさい。

$\sqrt{2}$ の整数部分 $x＝1$

$\sqrt{2}$ の小数部分 $y＝\sqrt{2}-1$　をそれぞれ代入。

代入のポイント：式を簡単にしてから代入

$x^2-y^2$ を因数分解すると、$(x+y)(x-y)$

ここで、$x=1$ , $y=\sqrt{2}-1$ を代入

$(1+\sqrt{2}-1)(1-\sqrt{2}+1)$

$=\sqrt{2}(2-\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2$