図のように、平行四辺形 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ の辺 $\mathrm{B}\mathrm{C}$、$\mathrm{C}\mathrm{D}$ 上にそれぞれ点 $\mathrm{E},\mathrm{F}$ をとり、$\mathrm{B}\mathrm{E}:\mathrm{E}\mathrm{C}=2:1$ 、$\mathrm{C}\mathrm{F}:\mathrm{F}\mathrm{D}=2:1$ とする。直線 $\mathrm{A}\mathrm{E}$、$\mathrm{A}\mathrm{F}$ と対角線 $\mathrm{B}\mathrm{D}$ との交点をそれぞれ $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ とする。また、平行四辺形 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ の面積を $\mathrm{S}$ とする。次の各問いに答えよ。

(1) $\mathrm{A}\mathrm{D}:\mathrm{B}\mathrm{E}$ を求めよ。

(2) $\mathrm{A}\mathrm{Q}:\mathrm{Q}\mathrm{F}$ を求めよ。

(3) $△\mathrm{P}\mathrm{B}\mathrm{E}$ の面積を $\mathrm{S}$ で表せ。

(4) $△\mathrm{A}\mathrm{Q}\mathrm{D}$ の面積を $\mathrm{S}$ で表せ。

(5) $\mathrm{B}\mathrm{P}:\mathrm{P}\mathrm{Q}:\mathrm{Q}\mathrm{D}$ を求めよ。

一問ずつみていきましょう。

(1) $\mathrm{A}\mathrm{D}:\mathrm{B}\mathrm{E}$ を求めよ。

POINT：平行四辺形の対辺は等しい

$\mathrm{B}\mathrm{E}:\mathrm{E}\mathrm{C}=2:1$ より、$\mathrm{A}\mathrm{D}:\mathrm{B}\mathrm{E}=3:2$

(2) $\mathrm{A}\mathrm{Q}:\mathrm{Q}\mathrm{F}$ を求めよ。

図の対頂角、錯角の $2$ 組の角がそれぞれ等しいので、$△\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{Q}\backsim △\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{Q}$

POINT：相似な図形の対応する辺の比は等しい

$\mathrm{A}\mathrm{B}:\mathrm{F}\mathrm{D}=3:1$ より、$\mathrm{A}\mathrm{Q}:\mathrm{F}\mathrm{Q}=3:1$

(3) $△\mathrm{P}\mathrm{B}\mathrm{E}$ の面積を $\mathrm{S}$ で表せ。

$2$ 組の角がそれぞれ等しいので、$△\mathrm{P}\mathrm{B}\mathrm{E}\backsim △\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{A}$ 

POINT：相似な図形の対応する辺の比は等しい

「$\mathrm{S}$ で表せ」という問題では、不要な部分を切り落としていきましょう。

まずは半分に。$\mathrm{S}\mathrm{\times }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{S}$

$\mathrm{B}\mathrm{E}:\mathrm{E}\mathrm{C}=2:1$ より、$\frac{1}{2}\mathrm{S}\mathrm{\times }\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\mathrm{S}$

$\mathrm{A}\mathrm{P}:\mathrm{P}\mathrm{E}=3:2$ より、$\frac{1}{3}\mathrm{S}\mathrm{\times }\frac{2}{5}=\frac{2}{15}\mathrm{S}$

　→　　→　

(4) $△\mathrm{A}\mathrm{Q}\mathrm{D}$ の面積を $\mathrm{S}$ で表せ。

(3) と同じ方法で解いてみましょう。

まずは半分に。$\mathrm{S}\mathrm{\times }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{S}$

$\mathrm{C}\mathrm{F}:\mathrm{F}\mathrm{D}=2:1$ より、$\frac{1}{2}\mathrm{S}\mathrm{\times }\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\mathrm{S}$

最後に $\mathrm{A}\mathrm{Q}:\mathrm{Q}\mathrm{F}=3:1$ より、$\frac{1}{6}\mathrm{S}\mathrm{\times }\frac{3}{4}=\frac{1}{8}\mathrm{S}$

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(5) $\mathrm{B}\mathrm{P}:\mathrm{P}\mathrm{Q}:\mathrm{Q}\mathrm{D}$ を求めよ。

POINT：相似な図形の対応する辺の比は等しい

$△\mathrm{A}\mathrm{Q}\mathrm{B}\backsim △\mathrm{F}\mathrm{Q}\mathrm{D}$ より、 $\mathrm{B}\mathrm{D}=\mathrm{B}\mathrm{Q}+\mathrm{Q}\mathrm{D}=3+1\mathrm{＝}4$

$△\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{D}\backsim △\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{B}$ より、$\mathrm{B}\mathrm{D}=\mathrm{B}\mathrm{P}+\mathrm{P}\mathrm{D}=2+3=5$

$\mathrm{P}\mathrm{Q}=15-8$ or $12-5$ $=7$

よって、$\mathrm{B}\mathrm{P}:\mathrm{P}\mathrm{Q}:\mathrm{Q}\mathrm{D}=8:7:5$