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まずは中点連結定理のおさらいをしておきましょう。

\begin{eqnarray} \textcolor{blue}{中点連結定理：}\textcolor{blue}{\rm MN=\frac{1}{2}BC}　,　\textcolor{blue}{\rm MN//BC}\end{eqnarray}

それぞれの中点 $2$ つを結んだら、長さが半分で、平行になります。

続いて、中学 $2$ 年生で習う平行四辺形であるため(になるため)の条件についても一気に復習しておきましょう。

① $\textcolor{blue}{2}$ 組の対辺がそれぞれ平行である。

② $\textcolor{blue}{2}$ 組の対辺がそれぞれ等しい。

③ $\textcolor{blue}{2}$ 組の対角がそれぞれ等しい。

④ 対角線がそれぞれの中点で交わる

⑤ $\textcolor{blue}{1}$ 組の対辺が平行でその長さが等しい

→定義・性質では出てこないけど、「平行四辺形であること」の証明ではよく使われます。

①は平行四辺形の定義

②、③、④は平行四辺形の性質

【証明】図のような四角形 $\textcolor{green}{\rm ABCD}$ の辺 $\textcolor{green}{\rm AB,BC,CD,DA}$ の中点をそれぞれ $\textcolor{green}{\rm P,Q,R,S}$ とするとき、四角形 $\textcolor{green}{\rm PQRS}$ が平行四辺形であることを証明しなさい。

POINT：外側の四角形の対角線を $\textcolor{blue}{1}$ 本ひく

【証明】$\rm △ABC$ において、$\rm P,Q$ は$\rm AB,BC$ の中点なので、

中点連結定理より $\textcolor{blue}{\rm PQ//AC, PQ=\frac{1}{2}AC}$

$\rm △ACD$ においても、$\rm S,R$ は $\rm AD,CD$ の中点なので、

中点連結定理より $\textcolor{blue}{\rm SR//AC,SR=\frac{1}{2}AC}$

よって、$\textcolor{blue}{\rm PQ//SR,PQ=SR}$

$\textcolor{blue}{1}$ 組の対辺が平行でその長さが等しいので、四角形PQRSは平行四辺形である。