まずは累乗と指数についての復習をしましょう。

同じ数や文字をいくつかかけ合わせたものを、累乗といいます。また、右上に小さく書いた数は、かけ合わせた個数を表し、これを累乗の指数といいます。

$a×a=a^2$（$a$ の２乗）

$a×a×a=a^3$（$a$ の３乗）

$a×a×a×a=a^4$（$a$ の４乗）

この指数の計算ルールを指数法則といい、全部で４つあります。

\begin{eqnarray} &①&a^m×a^n=a^{m+n}\\ &②&a^m÷a^n=a^{m-n}\\ &③&(a^m)^n=a^{mn}\\ &④&(ab)^n=a^nb^n \end{eqnarray}

それでは①～④の法則について、１つずつ確認していきましょう。

まずは $a^m×a^n=a^{m+n}$ についてみていきましょう。

＜例題＞次の計算をしなさい。

　 $\textcolor{green}{a^3 ×a^2}$

$=(a×a×a)×(a×a)　a$ を５個かけるので

$= \textcolor{red}{a^5}$

$a^m×a^n=a^{m+n}=a^3×a^2=a^{3+2}=\textcolor{red}{a^5}$

※かけ算の場合は指数どうしを足します。

次は $a^m÷a^n=a^{m-n}$ についてみていきましょう。

＜例題＞次の計算をしなさい。

　 $\textcolor{green}{a^5 ÷a^2}$

$=(a×a×a×a×a)÷(a×a)　a$ を３個かけるので

$=\textcolor{red}{a^3}$

$a^m÷a^n= a^{m-n}=a^5÷a^2=a^{5-2}=a^3$

※わり算の場合は指数どうしを引きます。

次は $(a^m)^n=a^{mn}$ についてみていきましょう。

＜例題＞次の計算をしなさい。

　 $\textcolor{green}{(a^2)^3}$

$=(a×a)×(a×a)×(a×a)　a$ を６個かけるので

$=\textcolor{red}{a^6}$

$(a^m)^n=a^{mn}=(a^2)^3=a^{2×3}=\textcolor{red}{a^6}$

※ $\textcolor{blue}{m}$ 乗したものを $\textcolor{blue}{n}$ 乗する場合は $\textcolor{blue}{(m×n)}$ 乗となります。

最後に $(ab)^n=a^nb^n$ についてみていきましょう。

＜例題＞次の計算をしなさい。

　 $\textcolor{green}{(ab)^4}$

$=(a× b)×(a×b)×(a×b)×(a×b)$

$=\textcolor{red}{a^4b^4}$

$(ab)^n=a^nb^n=(ab)^4=\textcolor{red}{a^4b^4}$

※ かけ算やわり算をひっくるめて $\textcolor{blue}{n}$ 乗する場合は、それぞれが $\textcolor{blue}{n}$ 乗されます。

問. 次の計算をしなさい。

　　$\textcolor{green}{(a^{11}×a^5÷a^6)^2}$

かけ算→指数どうしをたす 　$a^m×a^n=a^{m+n}$

わり算→指数どうしをひく　$a^m÷a^n=a^{m-n}$

$m$ 乗したものを $n$ 乗→$(m×n)$ 乗　$(a^m)^n=a^{mn}$

$a^\textcolor{blue}{{(11+5-6)×2}}=\textcolor{red}{a^{20}}$