根号は（$\sqrt{ }$）は、$2$ 乗を作るとはずれるので乗法公式 $a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2$ を利用した公式を使うと簡単に解けます。

二重根号をはずす公式

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

足して $a+b$ 、かけて $ab$ になる $2$ つの数字を考えるだけ

【例題】$\sqrt{9+2\sqrt{14}}$ の二重根号をはずして、簡単にしなさい。

足して $9$ , かけて $14$ になる $2$ つの数字

→$\sqrt{7}+\sqrt{2}$

【練習問題】次の二重根号をはずして、簡単にしなさい。

(1) $\sqrt{8-2\sqrt{15}}$　足して $8$、かけて $15$ になる $2$ つの数字

$=\sqrt{5}-\sqrt{3}$　※引き算の場合は、大きい数字が前になります。

(2) $\sqrt{7+\sqrt{48}}$　

※公式を使うためには $\sqrt{48}$ を変形して $2\sqrt{ }$ の形を作らないといけません。$\sqrt{48}=2\sqrt{12}$

$\sqrt{7+2\sqrt{12}}$　足して $7$、かけて $12$ になる $2$ つの数字

$=\sqrt{4}+\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$　

※$2\sqrt{ }$ の形を作る→$4\sqrt{5}=2\sqrt{20}$

$\sqrt{9-2\sqrt{20}}$　足して $9$、かけて $20$ になる $2$ つの数字

$=\sqrt{5}-\sqrt{4}$

【問題】$\sqrt{3+\sqrt{5}}$ の二重根号をはずして、簡単にしなさい。

$$\begin{array}{rcl}& =& \frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{1} \mathrm{分}\mathrm{母}\mathrm{と}\mathrm{分}\mathrm{子}\mathrm{に}\sqrt{2}\mathrm{を}\mathrm{か}\mathrm{け}\mathrm{る}。\\ \\ & =& \frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}\times \sqrt{2}}{1\times \sqrt{2}}\\ \\ & =& \frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}} \mathrm{足}\mathrm{し}\mathrm{て}6、\mathrm{か}\mathrm{け}\mathrm{て}5\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{る}2\mathrm{つ}\mathrm{の}\mathrm{数}\mathrm{字}\\ \\ & =& \frac{\sqrt{5}+\sqrt{1}}{\sqrt{2}} \mathrm{分}\mathrm{母}\mathrm{の}\mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{化}\\ \\ & =& \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\end{array}$$