根号を含む数の積や商について確認しましょう。

(1)　$\sqrt{4}×\sqrt{25}=2×5=10$

　　$\textcolor{blue}{\sqrt{4}×\sqrt{25}=\sqrt{4×25}=\sqrt{100}=10}$

(2)　$\sqrt{36}÷\sqrt{9}=6÷3=2$

　　$\textcolor{blue}{\sqrt{36}÷\sqrt{9}=\sqrt{36÷9}=\sqrt{4}=2}$

これより、根号を含む数の積と商には、次のような関係が成り立ちます。

$a,b$ が正の数のとき

$\textcolor{blue}{\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}}$　

$\textcolor{blue}{\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}（\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}})}$

【実践】次の計算をしなさい。

\begin{eqnarray} &\textcolor{green}{(3)}& \textcolor{green}{\sqrt{5}×\sqrt{6}}=\sqrt{5×6}]=\textcolor{red}{\sqrt{30}}\\\\ &\textcolor{green}{(4)}& \textcolor{green}{\sqrt{21}÷\sqrt{3}}=\sqrt{21÷3}=\textcolor{red}{\sqrt{7}}\\\\ &\textcolor{green}{(5)}& \textcolor{green}{\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{30}}}=\sqrt{\frac{150}{30}}=\textcolor{red}{\sqrt{5}}\\\\ &\textcolor{green}{(6)}& \textcolor{green}{2×\sqrt{3}}=\textcolor{red}{2\sqrt{3}}\\\\ &\textcolor{green}{(7)}& \textcolor{green}{\sqrt{11}\sqrt{7}}=\sqrt{11}×\sqrt{7}=\textcolor{red}{\sqrt{77}} \end{eqnarray}

$2\sqrt{3}$ のような形の式は、$\sqrt{a}$ の形に表すことができます。

STEP $\textcolor{blue}{1}$：$\textcolor{blue}{a→\sqrt{a^2}}$

STEP $\textcolor{blue}{2}$：計算して積・商を求める

\begin{eqnarray}\textcolor{green}{ (8)}& &\textcolor{green}{2\sqrt{3}}　\\ & &2 は \sqrt{2^2}=\sqrt{4} なので\\ & &\textcolor{blue}{\sqrt{4}}×\sqrt{3}=\sqrt{4×3}=\textcolor{red}{\sqrt{12}}\\\\\\ \textcolor{green}{(9)}& &\textcolor{green}{\frac{\sqrt{45}}{3}}\\ & &3 は\sqrt{3^2}=\sqrt{9} なので\\\\& &\frac{\sqrt{45}}{\textcolor{blue}{\sqrt{9}}}=\sqrt{\frac{45}{9}}=\textcolor{red}{\sqrt{5}} \end{eqnarray}

先ほどとは逆の変形を考えましょう。

（根号の中を簡単にする。）

(10)　$\textcolor{green}{\sqrt{18}}$ を $\textcolor{green}{a\sqrt{b}}$ の形に変形しなさい。

\begin{eqnarray} 　　\sqrt{18}&=&\sqrt{9×2}\\\\ &=&\sqrt{9}×\sqrt{2}\\\\ &=&\sqrt{3\textcolor{blue}{^2}}×\sqrt{2}\\\\ &=&\textcolor{blue}{3}×\sqrt{2}\\\\ &=&\textcolor{red}{3\sqrt{2}} \end{eqnarray}

根号の中の数を素因数分解すると根号の外に出す数をみつけやすくなります。

(11) $\textcolor{green}{\sqrt{156}}$ を $\textcolor{green}{a\sqrt{b}}$ の形に変形しなさい。

　　$156$ を素因数分解すると、$\textcolor{blue}{2×2×3×13}$

\begin{eqnarray} 　　\sqrt{156}&=&\sqrt{2^2×3×13}\\ \\&=&\textcolor{blue}{\sqrt{2^2}}×\sqrt{3×13}\\\\ &=&\textcolor{blue}{2}×\sqrt{39}\\\\ &=&\textcolor{red}{2\sqrt{39}} \end{eqnarray}

根号の中を簡単にする問題をもう $1$ つ確認しておきましょう。

【類題】 $\textcolor{green}{\sqrt{0.07}}$  の根号の中を簡単にしなさい。

\begin{eqnarray} 　&=&\sqrt{\frac{7}{100}}\\\\ &=&\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{100}}\\\\ &=&\frac{\sqrt{7}}{\textcolor{blue}{\sqrt{10^2}}}\\\\&=&\textcolor{red}{\frac{\sqrt{7}}{10}} \end{eqnarray}