根号は（$\sqrt{　}$）は、$2$ 乗を作るとはずれるので乗法公式 $\textcolor{blue}{a^2±2ab+b^2=(a±b)^2} $ を利用した公式を使うと簡単に解けます。

二重根号をはずす公式

$\textcolor{blue}{\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

$\textcolor{blue}{\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

足して $\textcolor{blue}{a+b}$ 、かけて $\textcolor{blue}{ab}$ になる $2$ つの数字を考えるだけ

【例題】$\textcolor{green}{\sqrt{9+2\sqrt{14}}}$ の二重根号をはずして、簡単にしなさい。

足して $9$ , かけて $14$ になる $2$ つの数字

→$\textcolor{red}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$

【練習問題】次の二重根号をはずして、簡単にしなさい。

(1) $\textcolor{green}{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}$　足して $8$、かけて $15$ になる $2$ つの数字

$=\textcolor{red}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$　※引き算の場合は、大きい数字が前になります。

(2) $\textcolor{green}{\sqrt{7+\sqrt{48}}}$　

※公式を使うためには $\sqrt{48}$ を変形して $\textcolor{blue}{2\sqrt{　}}$ の形を作らないといけません。$\sqrt{48}=\textcolor{blue}{2\sqrt{12}}$

$\sqrt{7+2\sqrt{12}}$　足して $7$、かけて $12$ になる $2$ つの数字

$=\textcolor{red}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$

(3) $\textcolor{green}{\sqrt{9-4\sqrt{5}}}$　

※$\textcolor{blue}{2\sqrt{　}}$ の形を作る→$4\sqrt{5}=\textcolor{blue}{2\sqrt{20}}$

$\sqrt{9-2\sqrt{20}}$　足して $9$、かけて $20$ になる $2$ つの数字

$=\textcolor{red}{\sqrt{5}-\sqrt{4}}$

【問題】$\textcolor{green}{\sqrt{3+\sqrt{5}}}$ の二重根号をはずして、簡単にしなさい。

\begin{eqnarray} &=&\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{1}　分母と分子に \textcolor{blue}{\sqrt{2}} をかける。\\\\ &=&\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}×\sqrt{2}}{1×\sqrt{2}}\\\\ &=&\frac{\textcolor{blue}{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}}{\sqrt{2}}　足して6、かけて 5 になる 2 つの数字\\\\ &=&\frac{\sqrt{5}+\sqrt{1}}{\sqrt{2}}　分母の有理化\\\\ &=&\textcolor{red}{\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}} \end{eqnarray}