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【例題】 $x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ 　のとき、次の式の値を求めなさい。

$\begin{array}{rcl} (1) & x + y \to 代入して計算 \\ = & \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \\ = & \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{2 \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} (2) & x y 代入して計算 \\ = & \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \\ = & \frac{1}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{1}{2} \end{array}$

(3)～(5)は先ほど求めた $x + y = \sqrt{5}, x y = \frac{1}{2}$ を代入して計算します。

$\begin{array}{r} (3) x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = 4 \end{array}$

$\begin{array}{r} (4) x^{y} + x y^{2} = x y (x + y) = \frac{1}{2} \times (\sqrt{5}) = \frac{\sqrt{5}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{r} (5) \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{5} \div \frac{1}{2} = 2 \sqrt{5} \end{array}$

【問題①】 $x + y = \sqrt{3}, x y = 1$ のとき、次の式の値を求めなさい。

$\begin{array}{rcl} x^{3} + y^{3} \\ = & (x + y)^{3} - (3 x^{2} y + 3 x y^{2}) \\ = & (x + y)^{3} - 3 x y (x + y) x + y = \sqrt{3}, x y = 1 を代入 \\ = & (\sqrt{3})^{3} - 3 \times 1 \times \sqrt{3} \\ = & 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 0 \end{array}$

【問題②】 $\sqrt{3} = 1.7321$ のとき、次の式の値を求めなさい。

$\begin{array}{rcl} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \\ = & \frac{\sqrt{3} \times (\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3} - 1 \times (\sqrt{3} + 1)} 有理化 \\ = & \frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)} \\ = & \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - 1} \\ = & \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \sqrt{3} = 1.7321 を代入 \\ = & \frac{4.7321}{2} = 2.36605 \end{array}$