高校では、樹形図を描かなくても何通りあるか求める方法である順列 $\mathrm{P}$ と組合せ $\mathrm{C}$ を習います。まずは $2$ つの違いを確認しましょう。

$5$ 人の生徒から

(1) 委員長と副委員長を選ぶ

「$\mathrm{A}$ が委員長で $\mathrm{B}$ が副委員長」と「$\mathrm{B}$ が委員長で $\mathrm{A}$ が副委員長」は意味が違うので、両方含まれる樹形図（左図）を書きます。（こっちが$\mathrm{P}$）

(2) 掃除係を $2$ 人選ぶ

「掃除係 $\mathrm{A}$ と掃除係 $\mathrm{B}$」と「掃除係 $\mathrm{B}$ と掃除係 $\mathrm{A}$」は意味が同じなので、$\mathrm{片}\mathrm{方}\mathrm{だ}\mathrm{け}\mathrm{の}\mathrm{減}\mathrm{る}\mathrm{樹}\mathrm{形}\mathrm{図}（\mathrm{右}\mathrm{図}）$を書きます。（こっちが $\mathrm{C}$）

さっきの例で、$\mathrm{P}$ と $\mathrm{C}$ の計算方法について確認しましょう。どちらの問も $5$ 人から $2$ 人を選びます。

(1) 委員長と副委員長を選ぶ

　　$$\begin{array}{rcl}& & {}_5{\mathrm{P}}_2 5\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{順}\mathrm{に}2\mathrm{つ}\mathrm{の}\mathrm{数}\mathrm{を}\mathrm{か}\mathrm{け}\mathrm{る}。\\ & & \to 5\times 4=20 20\mathrm{通}\mathrm{り}\end{array}$$

(2) 掃除係を $2$ 人選ぶ

　　$$\begin{array}{rcl}& & {}_5{\mathrm{C}}_2 \mathrm{分}\mathrm{子}\mathrm{は}\mathrm{P}\mathrm{と}\mathrm{同}\mathrm{じ}。\mathrm{分}\mathrm{母}\mathrm{は}2\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{順}\mathrm{に}\mathrm{数}\mathrm{を}\mathrm{か}\mathrm{け}\mathrm{る}。\\ & & \to \frac{5\times 4}{2\times 1}=10 10\mathrm{通}\mathrm{り}\end{array}$$

問題を解いて理解を深めましょう。

$$\begin{array}{r}(3){}_6{\mathrm{P}}_4 6\times 5\times 4\times 3=360\mathrm{通}\mathrm{り}\end{array}$$

$$\begin{array}{r}(4){}_5{\mathrm{C}}_3 \frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10\mathrm{通}\mathrm{り}\end{array}$$

$$\begin{array}{r}(5){}_5{\mathrm{P}}_5 5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\mathrm{通}\mathrm{り}\end{array}$$

$$\begin{array}{r}(6){}_{10}{\mathrm{C}}_4 \frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210\mathrm{通}\mathrm{り}\end{array}$$

このような問題にも使うことができます。

【問題】図の六角形の頂点を結んでできる三角形は全部で何個ありますか。

$△\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D}$ と $△\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$ は頂点の順番が違うだけで意味は同じになります。→ $\mathrm{C}$ を使って計算。

$6$ つの頂点から $3$ つを選ぶので、

$$\begin{array}{r}{}_6{\mathrm{C}}_3 \frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20\mathrm{通}\mathrm{り}\end{array}$$