面積が $24\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ の長方形で、底辺の長さを $x\mathrm{c}\mathrm{m}$ , 高さを $y\mathrm{c}\mathrm{m}$ とする。

底辺($\mathrm{c}\mathrm{m}$) $\times$ 高さ($\mathrm{c}\mathrm{m}$) $=$ 長方形の面積($\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$)

　　$x$　   $\times$　　$y$ 　   $=$　　$24$

$$\begin{array}{r}y\mathrm{を}x\mathrm{の}\mathrm{式}\mathrm{で}\mathrm{表}\mathrm{す}\mathrm{と}、y=\frac{24}{x}\end{array}$$

このように $y$ が $x$ の関数であり、$y=\frac{a}{x}$ の関係が成り立つとき、$y$ は $x$ に反比例するといいます。

反比例では、$xy（x\times y）$ は常に一定$（a）$になります。

$x$ が $2$ のとき、$y$ は $12$ （$2\times 12=24$） 

$x$ が $3$ のとき、$y$ は $8$   （$3\times 8=24$）

$x$ が $4$ のとき、$y$ は $4$   （$4\times 6=24$）

次のア～オの中から、$y$ が $x$ に反比例するものをすべて選びなさい。

ア　$y=\frac{8}{x}$　　　 イ　$\frac{y}{3}=-5x$　　　ウ　$xy=-2$

エ　$\frac{y}{x}=9$　　　 オ　$y=\frac{x}{5}$

ア→〇　比例定数 $8$

イ→✕　変形すると、$y=-15x$　比例($y=ax$) の形です。

ウ→〇　変形すると、 $y=-\frac{2}{x}$　比例定数 $-2$

エ→✕　変形すると、$y=9x$　比例($y=ax$) の形です。

オ→✕　$y=\frac{x}{5}=y\to y=\frac{1}{5}x$　比例($y=ax$) の形です。

$y$ は $x$ に反比例し、$x=5$ , $y=6$ である。次の問いに答えなさい。

(1) 比例定数を求めなさい。

$a=xy=5\times 6=30$

(2) $y$ を $x$ の式で表しなさい。

$a$ の値を (1) で求めているので、反比例の形（$y=\frac{a}{x}$）にするだけです。$y=\frac{30}{x}$

(3) $x=-2$ のとき、$y$ の値を求めなさい。

$x=-2$ を (2) 式に代入して求めます。

$y=30÷(-2)=-15$

※重要

$a=xy$ を変形すると、$x=\frac{a}{y}（a÷y）$

$x$ の値は、$y$ の値を求めるときと同様、定数 $a$ をわって求めることができます。

次の (1) ～ (3) のとき、$y$ を $x$ の式で表しなさい。

(1) $y$ は $x$ に反比例し、$x=3$ のとき $y=-2$ である。

$a=xy=3\times -2=-6$　$y=-\frac{6}{x}$

(2) $y$ は $x$ は反比例し、グラフが点（$15,\frac{3}{5}$）を通る。

$a=xy=15\times \frac{3}{5}=9$　$y=\frac{9}{x}$

(3) 原点を通らず $x$ と $y$ の積が一定→反比例の表の特徴

$a=xy=-12$　$y=-\frac{12}{x}$

反比例では、$x$ の値が $2\mathrm{倍}$ , $3\mathrm{倍}$… になると対応する $y$ の値は $\frac{1}{2}\mathrm{倍}$ , $\frac{1}{3}\mathrm{倍}$… になります。