直線が交わるとき、図の $∠a$ と $∠c$  のように向かい合っている角を対頂角といいます。

対頂角は等しいのですが、なぜ等しいのか直線の角度が $\textcolor{blue}{180°}$ であることを利用して考えてみましょう。

$∠a=180°-∠b$

$∠c=180°-∠b$

どちらも $180°$ から $∠b$ を引いたものと等しくなるので、$\textcolor{blue}{∠a=∠c}$ となります。

よって、対頂角である $∠a$ と $∠c$ , $∠b$ と $∠d$ はそれぞれ等しくなります。$\textcolor{blue}{∠a=∠c}$　,　 $\textcolor{blue}{∠b=∠d}$

図のように、$2$ つの直線に $1$ つの直線が交わってできる角のうち、

$∠a$ と $∠e$ のような位置にある角を同位角

$∠b$ と $∠h$ のような位置にある角を錯角といいます。

同位角は、同じ位置にある角度と覚えましょう。

例えば、$∠a$ と $∠e$ はどちらも $2$ つの直線が交わってできる十字の左上という同じ位置にあるので、同位角になります。

同じように、$∠d$ と $∠h$（右上）, $∠b$ と $∠f$（左下）, $∠c$ と $∠g$（右下）も同位角になります。

錯角は、Z もしくは逆Z の内側と覚えましょう。$∠b$ と $∠h$ は Z の内側 , $∠c$ と $∠e$ は逆Z の内側で錯角となります。

同位角や錯角は先ほどの対頂角とは違い、つねに等しいわけではありません。 $2$ 直線 $ℓ,m$ が平行なとき、同位角・錯角は等しくなります。

重要

$2$ 直線（$ℓ,m$）が平行ならば、同位角や錯角は等しい

同位角や錯角が等しければ、$2$ 直線（$ℓ,m$）は平行

【練習問題(基本)】次の図で、$\textcolor{green}{∠x}$ , $\textcolor{green}{∠y}$ の大きさをを求めなさい。ただし、$\textcolor{green}{ℓ//m}$ とする。

(1) 対頂角は等しいので、$∠x=\textcolor{red}{92°}$

$∠y=180°-27°-92°=\textcolor{red}{61°}$

(2) 平行な $2$ 直線の同位角は等しいので、黄色の角 $=137°$　$∠x=180°-137°=\textcolor{red}{43°}$

(3) 頻出問題です。$\textcolor{blue}{ℓ}$ と $\textcolor{blue}{m}$ に平行な補助線を引きましょう。

直線は $180°$ なので、オレンジの角 $=180°-139°=41°$

同位角は等しいので、$∠x$ の上の部分(オレンジの角) $=\textcolor{blue}{41°}$

同位角は等しいので、$∠x$ の下の部分(黄色の角)$=\textcolor{blue}{48°}$

よって、$∠x=48°+41°=\textcolor{red}{89°}$

【練習問題(応用)】次の図で、$\textcolor{green}{∠x}$ , $\textcolor{green}{∠y}$ の大きさをを求めなさい。ただし、$\textcolor{green}{ℓ//m}$ とする。

(1) 平行な $2$ 直線の錯角は等しいので、$∠x$(青の角)$=\textcolor{red}{71°}$

平行な $2$ 直線の錯角は等しいので、 緑の角 $=\textcolor{blue}{133°}$　

緑の角 $-∠x=$ 紫の角より、$133°-71°=\textcolor{blue}{62°}$

対頂角は等しいので、$∠y=\textcolor{red}{62°}$

(2) $\textcolor{blue}{ℓ}$ と $\textcolor{blue}{m}$ に平行な補助線を引きましょう。

平行な $2$ 直線の錯角は等しいので、$44°=29°+$ オレンジの角　オレンジの角 $=\textcolor{blue}{15°}$

平行な $2$ 直線の錯角は等しいので、$98°=15°+∠x$　

よって、$∠x=\textcolor{red}{83°}$