素数とは約数が $\textcolor{blue}{2}$ つしかない数（$1$ とその数のほかに約数がない数）をいいます。ただし、$1$は素数ではありません。

※約数とは、ある数をわり切ることができる数をいいます。

例えば、

$2$ の約数は $1$ と $2$ の「$\textcolor{blue}{2}$ つ」なので、$2$ は素数

$3$ の約数は $1$ と $3$ の「$\textcolor{blue}{2}$ つ」なので、$3$ は素数

$4$ の約数は $1$ と $2$ と $4$ の「$\textcolor{blue}{3}$ つ」なので、$4$ は素数ではありません。

素数の倍数には必ず約数が「$\textcolor{blue}{3}$ つ」以上含まれることになるので、これらは素数ではありません。

例えば、$2$（素数）の倍数である $4,6,8,10$… の約数には必ず $2$ が含まれ、約数が $3$ つ以上となるので、素数ではありません。

＜例題＞次の $\textcolor{green}{4}$ つの数字のうち、素数であるものを $\textcolor{green}{1}$ つ選びなさい。

　　　　$\textcolor{green}{21　37　55　92}$

※それぞれ次の素数の倍数なので素数ではありません。

　$21$ → $\textcolor{blue}{3}$ の倍数　　　

　$55$ → $\textcolor{blue}{5}$ の倍数

　$92$ → $\textcolor{blue}{2}$ の倍数

＜答え＞　$\textcolor{red}{37}$

※素数の倍数は素数ではないことを使って、$100$ 以下の素数を考えてみましょう。

　$\textcolor{blue}{1}$ は素数ではない。　　

　$\textcolor{blue}{2}$ 以外の $\textcolor{blue}{2}$ の倍数は素数ではない。

　$\textcolor{blue}{3}$ 以外の $\textcolor{blue}{3}$ の倍数は素数ではない。

　$\textcolor{blue}{5}$ 以外の $\textcolor{blue}{5}$ の倍数は素数ではない。

　$\textcolor{blue}{7}$ 以外の $\textcolor{blue}{7}$ の倍数は素数ではない。

という作業を続けて、素数ではない数を次々と消していきます。残った〇のついた数が素数になり、$100$ までの数字に素数は $\textcolor{blue}{25}$ 個あります。このような方法は、紀元前 $200$ 年頃にギリシャの数学者エラトステネスが発見したとされ「エラトステネスのふるい」と呼ばれています。

ある数をいくつかの数の積で表されるとき、その $1$ つ $1$ つの数のことを因数といいます。（$3,7$ は $21$ の因数）

では、$156$ の因数はどうなるか考えてみましょう。

　$156=12×13$

　$156=3×4×13$

　$156=1×2×2×3×1×13$

このように、いろいろな積の表し方があるので、因数はどれか？という問いに対して、同じ結果になりません。（どの表し方も正解です）

では、みんな同じ結果にするには？

→因数を素数に限定して考えます。

素数である因数を素因数といい、素因数だけの積のカタチで表すことを素因数分解するといいます。

$156$ を素因数分解すると

（素因数だけの積のカタチで表すと）

$156=2×2×3×13=\textcolor{blue}{2^2×3×13}$ となります。

※$\textcolor{blue}{1}$ は素数ではないので、$1×2^2 ×3×13$ としないように注意しましょう。

＜例題＞ $\textcolor{green}{156}$ を素因数分解しなさい。

素数で割っていけば素因数の積のカタチで表すことができます。

　$156÷\textcolor{blue}{2}=78$

　$78÷\textcolor{blue}{2}=39$

　$39÷\textcolor{blue}{3}=\textcolor{blue}{13}$　←素数になれば終わり

よって、$156$ を素因数分解すると $\textcolor{red}{2^2×3×13}$ になります。

素因数分解はどんな順序で行っても同じ結果となりますが、小さな素数から順に割っていきましょう。

※割ったあとの数が素数（今回であれば $13$ ）になれば終わりです。

【例題】次の数を素因数分解しなさい。

(1) $\textcolor{green}{44}$　　(2) $\textcolor{green}{105}$

(1) $44÷\textcolor{blue}{2}=22$

  　$22÷\textcolor{blue}{2}=\textcolor{blue}{11}$　 ＜答え＞ $\textcolor{Red}{2^2×11}$

(2) $105÷\textcolor{blue}{3}=35$

　    $35÷\textcolor{blue}{5}=\textcolor{blue}{7}$　 ＜答え＞ $\textcolor{red}{3×5×7}$

この素因数分解は平方根（ルートの変形）でも使うので、しっかりとマスターしておきましょう。