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素数とは

素因数分解(+素数とは?)
0:07

素数とは約数が $\textcolor{blue}{2}$ つしかない数($1$ とその数のほかに約数がない数)をいいます。ただし、$1$は素数ではありません

 

※約数とは、ある数をわり切ることができる数をいいます。

 

例えば、

$2$ の約数は $1$ と $2$ の$\textcolor{blue}{2}$ つ」なので、$2$ は素数

$3$ の約数は $1$ と $3$ の$\textcolor{blue}{2}$ つ」なので、$3$ は素数

$4$ の約数は $1$ と $2$ と $4$ の$\textcolor{blue}{3}$ つ」なので、$4$ は素数ではありません。

  

素因数分解(+素数とは?)
0:40

素数の倍数には必ず約数が「$\textcolor{blue}{3}$ つ」以上含まれることになるので、これらは素数ではありません。

 

例えば、$2$(素数)の倍数である $4,6,8,10$… の約数には必ず $2$ が含まれ、約数が $3$ つ以上となるので、素数ではありません。

 

<例題>次の $\textcolor{green}{4}$ つの数字のうち、素数であるものを $\textcolor{green}{1}$ つ選びなさい。

    $\textcolor{green}{21 37 55 92}$

 

※それぞれ次の素数の倍数なので素数ではありません。

 $21$ → $\textcolor{blue}{3}$ の倍数   

 $55$ → $\textcolor{blue}{5}$ の倍数

 $92$ → $\textcolor{blue}{2}$ の倍数

 

<答え> $\textcolor{red}{37}$

100までの素数

素因数分解(+素数とは?)
2:33

素数の倍数は素数ではないことを使って、$100$ 以下の素数を考えてみましょう。

 

 $\textcolor{blue}{1}$ は素数ではない。  

 $\textcolor{blue}{2}$ 以外の $\textcolor{blue}{2}$ の倍数は素数ではない。

 $\textcolor{blue}{3}$ 以外の $\textcolor{blue}{3}$ の倍数は素数ではない。

 $\textcolor{blue}{5}$ 以外の $\textcolor{blue}{5}$ の倍数は素数ではない。

 $\textcolor{blue}{7}$ 以外の $\textcolor{blue}{7}$ の倍数は素数ではない。

 

という作業を続けて、素数ではない数を次々と消していきます。残った〇のついた数が素数になり、$100$ までの数字に素数は $\textcolor{blue}{25}$ あります。このような方法は、紀元前 $200$ 年頃にギリシャの数学者エラトステネスが発見したとされ「エラトステネスのふるい」と呼ばれています。

因数とは

素因数分解(+素数とは?)
2:48

ある数をいくつかの数の積で表されるとき、その $1$ つ $1$ つの数のことを因数といいます。($3,7$ は $21$ の因数)

 

では、$156$ の因数はどうなるか考えてみましょう。

 

 $156=12×13$

 $156=3×4×13$

 $156=1×2×2×3×1×13$

 

このように、いろいろな積の表し方があるので、因数はどれか?という問いに対して、同じ結果になりません。(どの表し方も正解です)

  

素因数分解(+素数とは?)
4:03

では、みんな同じ結果にするには?

→因数を素数に限定して考えます。

 

素数である因数を素因数といい、素因数だけの積のカタチで表すことを素因数分解するといいます。

 

$156$ を素因数分解すると

素因数だけの積のカタチで表すと)

$156=2×2×3×13=\textcolor{blue}{2^2×3×13}$ となります。

 

※$\textcolor{blue}{1}$ は素数ではないので、$1×2^2 ×3×13$ としないように注意しましょう。

  

素因数分解(+素数とは?)
4:38

<例題> $\textcolor{green}{156}$ を素因数分解しなさい。

素数で割っていけば素因数の積のカタチで表すことができます。

 

 $156÷\textcolor{blue}{2}=78$

 $78÷\textcolor{blue}{2}=39$

 $39÷\textcolor{blue}{3}=\textcolor{blue}{13}$ ←素数になれば終わり

 

よって、$156$ を素因数分解すると $\textcolor{red}{2^2×3×13}$ になります。

 

素因数分解はどんな順序で行っても同じ結果となりますが、小さな素数から順に割っていきましょう。

 

※割ったあとの数が素数(今回であれば $13$ )になれば終わりです。

  

素因数分解(+素数とは?)
5:16

【例題】次の数を素因数分解しなさい。

(1) $\textcolor{green}{44}$  (2) $\textcolor{green}{105}$

 

(1) $44÷\textcolor{blue}{2}=22$

   $22÷\textcolor{blue}{2}=\textcolor{blue}{11}$  <答え> $\textcolor{Red}{2^2×11}$

 

(2) $105÷\textcolor{blue}{3}=35$

     $35÷\textcolor{blue}{5}=\textcolor{blue}{7}$  <答え> $\textcolor{red}{3×5×7}$

 

この素因数分解は平方根(ルートの変形)でも使うので、しっかりとマスターしておきましょう。

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