図のような縦の長さが $a+b$ 、横の長さが $c+d$ の長方形があります。この長方形の面積は、縦 $×$ 横 $=$ $\textcolor{blue}{(a+b)(c+d)}$ となります。

この長方形を４つの長方形の合計と考えると、その面積は、

$a×c+a×c+b×c+b×d=\textcolor{blue}{ac+ad+bc+bd}$ 

どちらも同じ長方形の面積についての式なので、$\textcolor{blue}{(a＋b)(c＋d)=ac＋ad＋bc＋bd}$  となります。

このように単項式や多項式の積の形をした式を、かっこをはずして単項式の和の形で表すことを、もとの式を展開するといいます。

【実践】$\textcolor{green}{(2x+1)(x+3)}$ を計算をしなさい。

今までの計算問題と同じく、展開後に同類項があれば、まとめます。

\begin{eqnarray} &　&(2x+1)(x+3)\\ &=&2x×x+2x×3+1×x+1×3\\ &=&2x^2+6x+x+3\\ &=&\textcolor{red}{2x^2+7x+3} \end{eqnarray}

$\textcolor{blue}{x^2}$と $\textcolor{blue}{x}$ は同類項ではない点に注意してください。

【問題】次の計算をしなさい。

\begin{eqnarray} \textcolor{green}{(1)}& &\textcolor{green}{(a+2)(b-1)}\\ &=&a×b+a×(-1)+2×b+2×(-1)\\ &=&\textcolor{red}{ab-a+2b-2} （同類項なし）\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\textcolor{green}{(2)}& &\textcolor{green}{(2x-3)(x+4)}\\ &=&2x×x+2x×4+(-3)×x+(-3)×4\\ &=&2x^2+8x-3x-12 （同類項あり）\\ &=&\textcolor{red}{2x^2+5x-12} \end{eqnarray}