【問題】方程式 $\textcolor{green}{x^2+6x+2=0}$ を解きなさい。

$x^2+6x+2=0$　←因数分解できない。

そんなときは、$\textcolor{blue}{(x+m)^2=n}$ の形に式を変形することで方程式を解くことができます。この変形のことを平方完成といいます。

\begin{eqnarray} x^2+6x+2&=&0\\ x^2\textcolor{blue}{+6}x&=&-2\end{eqnarray}

$\textcolor{blue}{(x+m)^2}$ の形を作るため、$\textcolor{blue}{x}$ の係数$\textcolor{blue}{(+6)}$の半分の $\textcolor{blue}{2}$ 乗を両辺に加える

\begin{eqnarray} \\x^2+6x\textcolor{blue}{+3^2}&=&-2\textcolor{blue}{+3^2}\\ \textcolor{blue}{(x+3)^2}&=&7\\ x+3&=&±\sqrt{7}\\ \textcolor{red}{x}&\textcolor{red}{=}&\textcolor{red}{-3±\sqrt{7}} \end{eqnarray}

$2$ 次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は、

\begin{eqnarray}　　\textcolor{blue}{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} \end{eqnarray}

で求めることができます。これを $2$ 次方程式の解の公式といいます。

(例題)　$\textcolor{green}{2x^2-3x-1=0}$　　$\textcolor{blue}{a=2}$ , $\textcolor{blue}{b=-3}$ , $\textcolor{blue}{c=-1}$

\begin{eqnarray}　　x&=&\frac{-(\textcolor{blue}{-3})±\sqrt{(\textcolor{blue}{-3})^2-4×\textcolor{blue}{2}×(\textcolor{blue}{-1})}}{2×\textcolor{blue}{2}}\\\\ &=&\frac{3±\sqrt{9+8}}{4}　=　\textcolor{red}{\frac{3±\sqrt{17}}{4}} \end{eqnarray}