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平方完成を使った解き方

平方完成と解の公式
0:13

【問題】方程式 $\textcolor{green}{x^2+6x+2=0}$ を解きなさい。

 

$x^2+6x+2=0$ ←因数分解できない。

 

そんなときは、$\textcolor{blue}{(x+m)^2=n}$ の形に式を変形することで方程式を解くことができます。この変形のことを平方完成といいます。

 

\begin{eqnarray} x^2+6x+2&=&0\\ x^2\textcolor{blue}{+6}x&=&-2\end{eqnarray}

 

$\textcolor{blue}{(x+m)^2}$ の形を作るため、$\textcolor{blue}{x}$ の係数$\textcolor{blue}{(+6)}$の半分の $\textcolor{blue}{2}$ 乗を両辺に加える

\begin{eqnarray} \\x^2+6x\textcolor{blue}{+3^2}&=&-2\textcolor{blue}{+3^2}\\ \textcolor{blue}{(x+3)^2}&=&7\\ x+3&=&±\sqrt{7}\\ \textcolor{red}{x}&\textcolor{red}{=}&\textcolor{red}{-3±\sqrt{7}} \end{eqnarray}

解の公式を使った解き方

平方完成と解の公式
3:01

$2$ 次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は、

 

\begin{eqnarray}  \textcolor{blue}{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} \end{eqnarray}

 

で求めることができます。これを $2$ 次方程式の解の公式といいます。

 

(例題) $\textcolor{green}{2x^2-3x-1=0}$  $\textcolor{blue}{a=2}$ , $\textcolor{blue}{b=-3}$ , $\textcolor{blue}{c=-1}$

 

\begin{eqnarray}  x&=&\frac{-(\textcolor{blue}{-3})±\sqrt{(\textcolor{blue}{-3})^2-4×\textcolor{blue}{2}×(\textcolor{blue}{-1})}}{2×\textcolor{blue}{2}}\\\\ &=&\frac{3±\sqrt{9+8}}{4} = \textcolor{red}{\frac{3±\sqrt{17}}{4}} \end{eqnarray}

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