三平方の空間図形の問題には、大きく分けると $2$ 種類の問題タイプがあります。

(1) 頂点 $\textcolor{green}{\rm D}$ から辺 $\textcolor{green}{\rm BC}$ を通って頂点 $\textcolor{green}{\rm F}$ までひもをかけるとき、最短の長さを求めなさい。

→立体の表面を通る線の長さを求める問題

(2) 対角線 $\textcolor{green}{\rm AG}$ の長さを求めなさい。

→立体の内部を通る線の長さを求める問題

この $2$ 種類の直線は求め方が異なるので、違いを理解しましょう。

立体の表面を通る線について確認しましょう。

頂点 $\textcolor{green}{\rm D}$ から辺 $\textcolor{green}{\rm BC}$ を通って頂点 $\textcolor{green}{\rm F}$ までひもをかけるとき、最短の長さを求めなさい。

POINT：ひもが通る部分の展開図を利用する

直角三角形 $\rm DAF$ で三平方の定理を使い、$\rm DF$ の長さを求めます。

$\rm DF^2=DA^2+AF^2$

$\rm DF^2=4^2+8^2$

$\rm DF^2=80$　　$\textcolor{blue}{\rm DF>0}$ より、

$\rm DF=4\sqrt{5}$　

よって、答えは $\textcolor{red}{4\sqrt{5}\rm cm}$

続いて立体の内部を通る線について確認しましょう。

対角線 $\textcolor{green}{\rm AG}$ の長さを求めなさい。

POINT：複数の直角三角形を利用する

Step１：$\textcolor{blue}{\rm EG}$ の長さを求める。

$\rm EG^2=5^2+4^2$

$\rm EG^2=41$　※ $\textcolor{blue}{2}$ 乗のままで

Step２：$\textcolor{blue}{\rm AG}$ の長さを求める。

$\rm AG^2=3^2+41$

$\rm AG^2=50$　$\textcolor{blue}{\rm DF>0}$ より、

$\rm AG=5\sqrt{2}$

よって、答えは $\textcolor{red}{5\sqrt{2}\rm cm}$