$\mathrm{S}=a\ell$ の証明は次の $3$ つのSTEPで解くので、しっかり流れを確認しましょう。

STEP①：大きい方の図形から小さい方の図形を引いて、$\mathrm{S}$（道の面積）を $a,p,q$ を用いた式で表す

STEP②：$\ell$（道の真ん中の長さ）を $a,p,q$ を用いた式で表す

STEP③：①,②で求めた結果から $\mathrm{S}=a\ell$ を導く

STEP①：大きい方の図形から小さい方の図形を引いて、$\mathrm{S}$（道の面積）を $a,p,q$ を用いた式で表す

大きい方の長方形の面積を文字を使って表すと、

縦の長さ：$p+2a$　横の長さ：$q+2a$　　

面積：$(p+2a)(q+2a)$　　となります。

次に小さい方の長方形の面積を文字を使って表すと、$p\times q=pq$

よって、$2$ つの図形の差（道の面積）は、

$\mathrm{S}=(p+2a)(q+2a)-pq$

　$=2ap+2aq+4a^2$

　$=a(2p+2q+4a)$

※結論が $\mathrm{S}=a\ell$ なので、$a$ でくくっておきます。

STEP②：$\ell$（道の真ん中の長さ）を $a,p,q$ を用いた式で表す

道の真ん中の

縦の長さ：$p+a$（$p$＋道幅 $a$ の半分が上下に $2$ つ）

横の長さ：$q+a$（$q$＋道幅 $a$ の半分が左右に $2$ つ）

縦,横がそれぞれ $2$ 本ずつあるので、$\ell$（道の真ん中の長さ）は

$\ell =2(p+a)+2(q+a)$

$=2p+2a+2q+2a$

$=2p+2q+4a$

STEP③：①,②で求めた結果から $\mathrm{S}=a\ell$ を導く

①,②の結論をまとめると、

$\mathrm{S}=a(2p+2q+4a)$　・・・①

$\ell =2p+2q+4a$　・・・②

①,②に共通する部分 $2p+2q+4a$ があるので、これをおきかえると、$\mathrm{S}=a\ell$ となります。

【問題】下の図で、$\mathrm{S}=a\ell$ であることを証明した。次の空らんを埋めなさい。

道の面積 $\mathrm{S}$ は、大きい円の面積から小さい円の面積を引けばいいので、

大きい円の半径：$r+a$　面積：$\pi (r+a{)}^2$

小さい円の半径：$r$　　　面積：$\pi r^2$

よって、$\mathrm{S}=\pi (r+a{)}^2-\pi r^2=\pi a(2r+a)$　・・・①

次に道の真ん中を通る線 $\ell$（円周）を求める。道の真ん中の円の半径は $r+\frac{1}{2a}$ なので、

円周 $\ell =2\pi (r+\frac{1}{2a})=\pi (2r+a)$　・・・②

①,②より　$\mathrm{S}=a\ell$ となる。