今回は文字式を使った証明（展開・因数分解編）です。

まずは復習です。文字式を利用すると数の関係や性質などいろいろな事柄の説明ができました。

連続する奇数を文字で表す→$2n+1,2n+3$ など

式の計算を利用して、さまざまな事柄を説明してみましょう。

文字式で説明するときは、問題文から「対象」「計算方法」「結論」を抜き出します。

では、問題で確認していきましょう。

【実践問題①】連続する $\textcolor{green}{2}$ つの整数では、大きい数の平方から小さい数の平方をひいたときの差は、もとの小さい数と大きい数の和になることを説明しなさい。

対象：連続する $\textcolor{blue}{2}$ つの整数

計算方法：大きい数の平方から小さい数の平方をひいた差

結論：もとの小さい数と大きい数の和になる

【説明】

連続する $\textcolor{red}{2}$ つの整数は、小さい数を $\textcolor{red}{n}$ とすると、$\textcolor{red}{n,n+1}$ と表すことができる。大きい数の平方から小さい数の平方をひいた差は、

　$\textcolor{red}{(n+1)^2-n^2}$

$\textcolor{red}{=n^2+2n+1-1^2}$

$\textcolor{red}{=2n+1}$

$\textcolor{red}{=n+(n+1)}$

よって、もとの小さい数と大きい数の和になる。

【実践問題②】連続する奇数の積に $\textcolor{green}{1}$ を加えた数は$\textcolor{green}{4}$ の倍数になることを説明しなさい。

対象：連続する奇数

計算方法：積に $\textcolor{blue}{1}$ を加える

結論：$\textcolor{blue}{4}$ の倍数になる

【説明】

連続する奇数は、整数 $\textcolor{red}{n}$ を使い、$\textcolor{red}{2n+1,2n+3}$ と表すことができる。それらの積に $\textcolor{red}{1}$ を加えた数は、

$\textcolor{red}{　(2n+1)(2n+3)+1}$

$\textcolor{red}{=4n^2+8n+3+1}$

$\textcolor{red}{=4n^2+8n+4}$

$\textcolor{red}{=4(n^2+2n+1)}$

$\textcolor{red}{n^2+2n+1}$ は整数なので、$\textcolor{red}{4}$ の倍数になる。

【問題】$\textcolor{green}{2}$ けたの自然数の $\textcolor{green}{2}$ 乗と、この自然数の十の位の数と一の位の数をいれかえた自然数の $\textcolor{green}{2}$ 乗との差は、どのような数になるか答えなさい。

$2$ けたの自然数：$\textcolor{blue}{10a+b}$

十の位と一の位をいれかえた自然数：$\textcolor{blue}{10b+a}$

$2$ けたの自然数の $2$ 乗と、この自然数の十の位の数と一の位の数をいれかえた自然数の $2$ 乗との差は、

$　(10a+b)^2-(10b+a)^2$

$= (100a^2+20ab+b^2)-(100b^2+20ab+a^2)$

$=99(a^2-b^2)$

$a^2-b^2$ は整数なので、$\textcolor{red}{99}$ の倍数