${\rm S}=aℓ$ の証明は次の $3$ つのSTEPで解くので、しっかり流れを確認しましょう。

STEP①：大きい方の図形から小さい方の図形を引いて、$\textcolor{blue}{{\rm S}}$（道の面積）を $\textcolor{blue}{a,p,q}$ を用いた式で表す

STEP②：$\textcolor{blue}{ℓ}$（道の真ん中の長さ）を $\textcolor{blue}{a,p,q}$ を用いた式で表す

STEP③：①,②で求めた結果から $\textcolor{blue}{{\rm S}=aℓ}$ を導く

STEP①：大きい方の図形から小さい方の図形を引いて、$\textcolor{blue}{{\rm S}}$（道の面積）を $\textcolor{blue}{a,p,q}$ を用いた式で表す

大きい方の長方形の面積を文字を使って表すと、

縦の長さ：$p+2a$　横の長さ：$q+2a$　　

面積：$\textcolor{blue}{(p+2a)(q+2a)}$　　となります。

次に小さい方の長方形の面積を文字を使って表すと、$\textcolor{blue}{p×q=pq}$

よって、$2$ つの図形の差（道の面積）は、

${\rm S}=(p+2a)(q+2a)-pq$

　$=2ap+2aq+4a^2$

　$=\textcolor{blue}{a(2p+2q+4a)}$

※結論が ${\rm S}=aℓ$ なので、$a$ でくくっておきます。

STEP②：$\textcolor{blue}{ℓ}$（道の真ん中の長さ）を $\textcolor{blue}{a,p,q}$ を用いた式で表す

道の真ん中の

縦の長さ：$\textcolor{blue}{p+a}$（$p$＋道幅 $a$ の半分が上下に $2$ つ）

横の長さ：$\textcolor{blue}{q+a}$（$q$＋道幅 $a$ の半分が左右に $2$ つ）

縦,横がそれぞれ $2$ 本ずつあるので、$ℓ$（道の真ん中の長さ）は

$ℓ=2(p+a)+2(q+a)$

$　=2p+2a+2q+2a$

$　=\textcolor{blue}{2p+2q+4a}$

STEP③：①,②で求めた結果から $\textcolor{blue}{{\rm S}=aℓ}$ を導く

①,②の結論をまとめると、

${\rm S}=a(\textcolor{blue}{2p+2q+4a})$　・・・①

$ ℓ=\textcolor{blue}{2p+2q+4a}$　・・・②

①,②に共通する部分 $\textcolor{blue}{2p+2q+4a}$ があるので、これをおきかえると、$\textcolor{blue}{{\rm S}=aℓ}$ となります。

【問題】下の図で、$\textcolor{green}{{\rm S}=aℓ}$ であることを証明した。次の空らんを埋めなさい。

道の面積 ${\rm S}$ は、大きい円の面積から小さい円の面積を引けばいいので、

大きい円の半径：$\textcolor{blue}{r+a}$　面積：$\textcolor{blue}{π(r+a)^2}$

小さい円の半径：$\textcolor{blue}{r}$　　　面積：$\textcolor{blue}{πr^2}$

よって、${\rm S}=\textcolor{blue}{π(r+a)^2}-\textcolor{blue}{πr^2}=\textcolor{blue}{πa(2r+a)}$　・・・①

次に道の真ん中を通る線 $ℓ$（円周）を求める。道の真ん中の円の半径は $\textcolor{blue}{r+\frac{1}{2a}}$ なので、

円周 $ℓ=2π(r+\frac{1}{2a})=\textcolor{blue}{π(2r+a)}$　・・・②

①,②より　$\textcolor{red}{{\rm S}=aℓ}$ となる。