関連動画

PDF教材

3つのSTEP

保護中: S=aℓの証明(式の計算の利用・図形編)
0:47

${\rm S}=aℓ$ の証明は次の $3$ つのSTEPで解くので、しっかり流れを確認しましょう。

 

STEP①:大きい方の図形から小さい方の図形を引いて、$\textcolor{blue}{{\rm S}}$(道の面積)を $\textcolor{blue}{a,p,q}$ を用いた式で表す

 

STEP②:$\textcolor{blue}{ℓ}$(道の真ん中の長さ)を $\textcolor{blue}{a,p,q}$ を用いた式で表す

 

STEP③:①,②で求めた結果から $\textcolor{blue}{{\rm S}=aℓ}$ を導く

STEP1 

保護中: S=aℓの証明(式の計算の利用・図形編)
1:12

STEP①:大きい方の図形から小さい方の図形を引いて、$\textcolor{blue}{{\rm S}}$(道の面積)を $\textcolor{blue}{a,p,q}$ を用いた式で表す

 

大きい方の長方形の面積を文字を使って表すと、

縦の長さ:$p+2a$ 横の長さ:$q+2a$  

面積:$\textcolor{blue}{(p+2a)(q+2a)}$  となります。

 

次に小さい方の長方形の面積を文字を使って表すと、$\textcolor{blue}{p×q=pq}$

 

よって、$2$ つの図形の差(道の面積)は、

 

${\rm S}=(p+2a)(q+2a)-pq$

 $=2ap+2aq+4a^2$

 $=\textcolor{blue}{a(2p+2q+4a)}$

 

※結論が ${\rm S}=aℓ$ なので、$a$ でくくっておきます。

 

STEP2

保護中: S=aℓの証明(式の計算の利用・図形編)
2:43

STEP②:$\textcolor{blue}{ℓ}$(道の真ん中の長さ)を $\textcolor{blue}{a,p,q}$ を用いた式で表す

 

道の真ん中の

縦の長さ:$\textcolor{blue}{p+a}$($p$+道幅 $a$ の半分が上下に $2$ つ)

横の長さ:$\textcolor{blue}{q+a}$($q$+道幅 $a$ の半分が左右に $2$ つ)

 

 

縦,横がそれぞれ $2$ 本ずつあるので、$ℓ$(道の真ん中の長さ)は

 

$ℓ=2(p+a)+2(q+a)$

$ =2p+2a+2q+2a$

$ =\textcolor{blue}{2p+2q+4a}$

STEP3

保護中: S=aℓの証明(式の計算の利用・図形編)
3:38

STEP③:①,②で求めた結果から $\textcolor{blue}{{\rm S}=aℓ}$ を導く

 

①,②の結論をまとめると、

${\rm S}=a(\textcolor{blue}{2p+2q+4a})$ ・・・①

$ ℓ=\textcolor{blue}{2p+2q+4a}$ ・・・②

 

①,②に共通する部分 $\textcolor{blue}{2p+2q+4a}$ があるので、これをおきかえると、$\textcolor{blue}{{\rm S}=aℓ}$ となります。

 

保護中: S=aℓの証明(式の計算の利用・図形編)
4:27

【問題】下の図で、$\textcolor{green}{{\rm S}=aℓ}$ であることを証明した。次の空らんを埋めなさい。

 

道の面積 ${\rm S}$ は、大きい円の面積から小さい円の面積を引けばいいので、

大きい円の半径:$\textcolor{blue}{r+a}$ 面積:$\textcolor{blue}{π(r+a)^2}$

小さい円の半径:$\textcolor{blue}{r}$   面積:$\textcolor{blue}{πr^2}$

よって、${\rm S}=\textcolor{blue}{π(r+a)^2}-\textcolor{blue}{πr^2}=\textcolor{blue}{πa(2r+a)}$ ・・・①

 

次に道の真ん中を通る線 $ℓ$(円周)を求める。道の真ん中の円の半径は $\textcolor{blue}{r+\frac{1}{2a}}$ なので、

円周 $ℓ=2π(r+\frac{1}{2a})=\textcolor{blue}{π(2r+a)}$ ・・・②

 

①,②より $\textcolor{red}{{\rm S}=aℓ}$ となる。

お問合わせ

コンテンツやシステムに関するお問い合わせ・オファーはこちらから