【問】$\textcolor{green}{400}$ はどのような自然数の平方（２乗）になるか求めなさい。

$400=20×20$ なので、$400$ は $\textcolor{red}{20}$ の平方（２乗）となります。

$400$ はわかりやすい数字でしたが、例えば、$256$ はどんな自然数の２乗になるでしょうか？

こんなときは、素因数分解を使って考えます。素因数分解とは、自然数を素因数だけの積の形に表すことをいいます。

それでは $256$ を素因数分解して、どのような素因数の積で表せるか確認しましょう。

\begin{eqnarray} & &256÷\textcolor{blue}{2}=128\\ & &128÷\textcolor{blue}{2}=64\\ & &64÷\textcolor{blue}{2}=32\\ & &32÷\textcolor{blue}{2}=16\\ & &16÷\textcolor{blue}{2}=8\\ & &8÷\textcolor{blue}{2}=4\\ & &4÷\textcolor{blue}{2}=2　←素数になれば終了 \end{eqnarray}

よって、$256=\textcolor{blue}{2^8}$ と表すことができます。

$2^8=2^2×2^2×2^2×2^2=(2×2×2×2)^2=\textcolor{blue}{16^2}$ となるので、$256$ は $\textcolor{red}{16}$ の２乗だとわかります。

【問題】$\textcolor{green}{1296}$ はどのような自然数の平方であるか求めなさい。

$1296$ を素因数分解してどのような自然数の平方であるか求めます。

\begin{eqnarray} & &1296÷\textcolor{blue}{2}=648\\ & &648÷\textcolor{blue}{2}=324\\ & &324÷\textcolor{blue}{2}=162\\ & &162÷\textcolor{blue}{2}=81　←この時点で\textcolor{blue}{9^2} と考えてもいいです\\ & &81÷\textcolor{blue}{3}=27\\ & &27÷\textcolor{blue}{3}=9 \\ & &9÷\textcolor{blue}{3}=3　←素数になれば終了 \end{eqnarray}

$1296=2×2×2×2×3×3×3×3$

   　　$=2^2×2^2×3^2×3^2=(2×2×3×3)^2 = \textcolor{blue}{36^2}$

よって、$1296$ は自然数 $36$ の平方になります。

【類題】 $\textcolor{green}{126}$ にどんな数を掛ければ（割れば）平方の形になるか求めなさい。

基本的な解き方は同じで、素因数分解を行います。$126$ を素因数分解すると、

\begin{eqnarray} & &126÷\textcolor{blue}{2}=63\\ & &63÷\textcolor{blue}{3}=21\\ & &21÷\textcolor{blue}{3}=7　←素数になれば終了\end{eqnarray}

よって、$126=3^2×2×7$ と表すことができます。２乗の形になっていないのは $\textcolor{blue}{2}$ と $\textcolor{blue}{7}$ なので、$2×7=14$ をかければ、

$3^2×2^2×7^2=(2×3×7)^2=\textcolor{blue}{42^2}$ となり平方の形になります。

答. $14$ をかける