【問】$400$ はどのような自然数の平方（２乗）になるか求めなさい。

$400=20\times 20$ なので、$400$ は $20$ の平方（２乗）となります。

$400$ はわかりやすい数字でしたが、例えば、$256$ はどんな自然数の２乗になるでしょうか？

こんなときは、素因数分解を使って考えます。素因数分解とは、自然数を素因数だけの積の形に表すことをいいます。

それでは $256$ を素因数分解して、どのような素因数の積で表せるか確認しましょう。

$$\begin{array}{rcl}& & 256÷2=128\\ & & 128÷2=64\\ & & 64÷2=32\\ & & 32÷2=16\\ & & 16÷2=8\\ & & 8÷2=4\\ & & 4÷2=2 \leftarrow \mathrm{素}\mathrm{数}\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{れ}\mathrm{ば}\mathrm{終}\mathrm{了}\end{array}$$

よって、$256=2^8$ と表すことができます。

$2^8=2^2\times 2^2\times 2^2\times 2^2=(2\times 2\times 2\times 2{)}^2={16}^2$ となるので、$256$ は $16$ の２乗だとわかります。

【問題】$1296$ はどのような自然数の平方であるか求めなさい。

$1296$ を素因数分解してどのような自然数の平方であるか求めます。

$$\begin{array}{rcl}& & 1296÷2=648\\ & & 648÷2=324\\ & & 324÷2=162\\ & & 162÷2=81 \leftarrow \mathrm{こ}\mathrm{の}\mathrm{時}\mathrm{点}\mathrm{で}{9}^2\mathrm{と}\mathrm{考}\mathrm{え}\mathrm{て}\mathrm{も}\mathrm{い}\mathrm{い}\mathrm{で}\mathrm{す}\\ & & 81÷3=27\\ & & 27÷3=9\\ & & 9÷3=3 \leftarrow \mathrm{素}\mathrm{数}\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{れ}\mathrm{ば}\mathrm{終}\mathrm{了}\end{array}$$

$1296=2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 3\times 3$

   　　$=2^2\times 2^2\times 3^2\times 3^2=(2\times 2\times 3\times 3{)}^2={36}^2$

よって、$1296$ は自然数 $36$ の平方になります。

【類題】 $126$ にどんな数を掛ければ（割れば）平方の形になるか求めなさい。

基本的な解き方は同じで、素因数分解を行います。$126$ を素因数分解すると、

$$\begin{array}{rcl}& & 126÷2=63\\ & & 63÷3=21\\ & & 21÷3=7 \leftarrow \mathrm{素}\mathrm{数}\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{れ}\mathrm{ば}\mathrm{終}\mathrm{了}\end{array}$$

よって、$126=3^2\times 2\times 7$ と表すことができます。２乗の形になっていないのは $2$ と $7$ なので、$2\times 7=14$ をかければ、

$3^2\times 2^2\times 7^2=(2\times 3\times 7{)}^2={42}^2$ となり平方の形になります。

答. $14$ をかける