分母に $\sqrt{　}$ (根号)がある数は、分母に$\sqrt{　}$ (根号)をふくまない形に変えることができる。これを分母を有理化するといいます。

有理化する方法は、分母の $\sqrt{　}$ (根号)を分子と分母にかけるだけです。

\begin{eqnarray} &　&\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}\textcolor{blue}{×\sqrt{3}}}{\sqrt{3}\textcolor{blue}{×\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\\\\ &　&\frac{5}{3\sqrt{2}}=\frac{5\textcolor{blue}{×\sqrt{2}}}{3\sqrt{2}\textcolor{blue}{×\sqrt{2}}}=\frac{5\sqrt{2}}{3×2}=\frac{5\sqrt{2}}{6} \end{eqnarray}

【実践】 次の数の分母を有理化しなさい。

 \begin{eqnarray} \textcolor{green}{(1)}&　& \textcolor{green}{\frac{4}{\sqrt{2}}}=\frac{4\textcolor{blue}{×\sqrt{2}}}{\sqrt{2}\textcolor{blue}{×\sqrt{2}}}=\frac{4\sqrt{2}}{2} \textcolor{blue}{(約分)}=\textcolor{red}{2\sqrt{2}}\\\\ \textcolor{green}{(2)}&　& \textcolor{green}{\frac{6}{\sqrt{18}}}　\sqrt{18}=\sqrt{\textcolor{blue}{3^2}×2}=3\sqrt{2}\\ &=&\frac{6}{\textcolor{blue}{3\sqrt{2}}}=\frac{6\textcolor{blue}{×\sqrt{2}}}{3\sqrt{2}\textcolor{blue}{×\sqrt{2}}}=\frac{6\sqrt{2}}{6}\textcolor{blue}{(約分)}= \textcolor{red}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}

$4÷\sqrt{2}$ や $6÷\sqrt{18}$ のように出題されても、除法の計算結果はふつう分母を有理化しておきます。

【問題】 次の数の分母を有理化しなさい。

　　\begin{eqnarray} \textcolor{green}{\frac{2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}}\end{eqnarray}

乗法公式④ $\textcolor{green}{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$ を利用します。

\begin{eqnarray} \frac{2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})} &=&\frac{2\textcolor{blue}{×(\sqrt{3}+\sqrt{2})}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})\textcolor{blue}{×(\sqrt{3}+\sqrt{2})}}\\\\ &=&\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{3-2}\\\\ &=&\textcolor{red}{2\sqrt{3}+2\sqrt{2}} \end{eqnarray}