$y=a{x}^2$ の変域は、$x$ の変域が $0$ を含む場合と含まない場合の $2$ 通りに分けて考えます。$y=x^2$ で確認しましょう。

$x$ の変域が $0$ を含まない場合（$1\leqq x\leqq 4$ ）

$x$ の変域を両方代入して最大、最小を求める

（$x=1$ のとき）　$y=1^2=1$

（$x=4$ のとき）　$y=4^2=16$

よって、$1\leqq y\leqq 16$

$x$ の変域が $0$ を含む場合（ $-2\leqq x\leqq 3$）

上に開くグラフなので、その最小は $0$

最大は、絶対値の大きい方を式に代入して求める。

（$x=3$ を代入）　$y=3^2=9$

よって、$0\leqq y\leqq 9$

【基本問題】関数 $y=-2x^2$ について、$x$ の変域が次のようなとき、$y$ の変域を求めなさい。

(1) $1\leqq x\leqq 2$　（$x$ の変域に $0$ を含まない）

→両方代入

$y=-2\times 1^2=-2 （\mathrm{最}\mathrm{大}）$

$y=-2\times 2^2=-8 （\mathrm{最}\mathrm{小}）$　　

よって、$-8\leqq y\leqq -2$

(2) $-5＜x＜3$　（$x$ の変域に $0$ を含む）

→片方は $0$。絶対値の大きい方を代入

$y=-2\times (-5{)}^2=-50 （\mathrm{最}\mathrm{小}）$　

よって、$-50\leqq y\leqq 0$

(3) $-4＜x\leqq -2$　（$x$ の変域に $0$ を含まない）

→両方代入

$y=-2\times (-4{)}^2=-32 （\mathrm{最}\mathrm{小}）$

$y=-2\times (-4{)}^2=-8$　   $（\mathrm{最}\mathrm{大}）$　　

よって、$-32＜y\leqq -8$

【応用問題】関数 $y=a{x}^2$ について、$x$ の変域が $-2\leqq x\leqq 3$ のとき、$y$ の変域が $-27\leqq y\leqq 0$ である。このとき、$a$ の値を求めなさい。

STEP $0$：かんたんなグラフを書く　※慣れたら不要

$-27\leqq y\leqq 0$ より、最大が $0$ なので、下開きの放物線になります。

STEP $1$：$x$ と $y$ のセットを見つける

$x$ の変域が $0$ を含むので、$y$ の最大は $0$ 。$-27$ は絶対値の大きい方（$x=3$）を代入した結果となります。つまり、$x=3$ のとき $y=-27$ となります。

STEP $2$：$x$ と $y$ を $y=a{x}^2$ に代入する

$$\begin{array}{rcl} -27& =& a\times 3^2\\ 9a& =& -27\\ a& =& -3\end{array}$$