座標平面に関する問題－２次方程式：中学３年生

今回は座標平面に関する問題についてみていきましょう。

図で点 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{y}=\mathrm{x}+3$ のグラフ上の点であり, 点 $\mathrm{A}$ は $\mathrm{P}\mathrm{O}=\mathrm{P}\mathrm{A}$ となる $\mathrm{x}$ 軸上の点である。点 $\mathrm{P}$ の $\mathrm{x}$ 座標を $\mathrm{a}$ として, 次の座標を求めなさい。ただし, $\mathrm{a}>0$ とします。

$(1)$ 点$\mathrm{P}$ の $\mathrm{y}$ 座標

これはシンプルに１次関数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}+3$ の $\mathrm{x}$ に $\mathrm{a}$ に代入してあげればOKです。

答えは, $\mathrm{a}+3$

$(2)$ 点$\mathrm{A}$ の座標

ポイントは「二等辺三角形」ということ。二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に $2$ 等分します。

頂点 $\mathrm{P}$ から底辺に垂線を引くと, 底辺 $(\mathrm{A}\mathrm{O})$ をちょうど半分にするということですね。

点 $\mathrm{P}$ の $\mathrm{x}$ 座標が $\mathrm{a}$ なので, $\mathrm{y}$ 軸からの距離が $\mathrm{a}$ になる。これが底辺の中点になるので, 右サイドも $\mathrm{a}$。

よって, 点 $\mathrm{A}$ の $\mathrm{x}$ 座標は, $\mathrm{a}+\mathrm{a}=2\mathrm{a}$

$\mathrm{y}$ 座標は $0$ なので, $\mathrm{A}(2\mathrm{a},0)$

$(3)$ 座標の $1$ 目もりを $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ として, $△\mathrm{P}\mathrm{O}\mathrm{A}$ の面積が $40\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ になるときの点 $\mathrm{P}$ の座標

ここまでが前提で, ここが一番聞きたいところです。必要な値は, ここまでの問いで得られています。

あとは面積の公式にしたがって式を作るだけですね。

底辺 $(\mathrm{O}\mathrm{A})$ は $2\mathrm{a}$ , 高さは点 $\mathrm{P}$ の $\mathrm{y}$ 座標なので, $\mathrm{a}+3$ になる。

三角形の面積の式に表すと, $2\mathrm{a}\mathrm{\times }(\mathrm{a}+3)\mathrm{\times }\frac{1}{2}=40$

式を整理すると, ${\mathrm{a}}^2+3\mathrm{a}-40=0$

左辺を因数分解すると, $(\mathrm{a}+8)(\mathrm{a}-5)=0$

$\mathrm{a}=-8,5$ ですが, 問題文に $\mathrm{a}>0$ と書いてあるので, $\mathrm{a}=5$

点 $\mathrm{P}$ の座標なので, $\mathrm{P}(\mathrm{a},\mathrm{a}+3)$ に $\mathrm{a}$ に $5$ を代入する。

よって, 答えは $\mathrm{P}(5,8)$

今回は座標平面に関する問題でした。

各PDFはコチラ↓
問題
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解答欄
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解答
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