解と定数-２次方程式：中学３年生

今回は２次方程式の利用の中でも「解と定数」に関する問題について行おうと思います。

解が１つわかっている場合

大問１：$\rm x^2+ax+8$ の解の１つが「１」のとき $\rm a$ の値を求めなさい。

いくつか出題パターンはありますが, この形式の問題は大きく２つのアプローチを理解すれば大丈夫です。

まずは, 教科書通りの解 $\rm (x)$ の値を代入する方法をサラッと見ておきます。$\rm x$ に $\rm 1$ を代入すると, $\rm a$ だけの方程式ができるので, これを解いて $\rm a=-9$ 。

２次方程式の“解”は基本２つあるので, もう一方の解を問う問題も出題されます。これは, 今求めた $-9$ を元の式に代入して, 方程式を解いてあげればＯＫです。

左辺を因数分解して $\rm (x-8)(x-1)$。よって, $\rm x=8,1$。「$1$」は問題文に書いてあるので, “もう１つの解”は $8$ となります。

２つ目のアプローチは解から“逆算”して元の式を考える方法になります。

今回のように解の１つが「$1$」の場合, 中学レベルで想定できる１段上の式は $\rm (x-1)(x-8)$ しかありません。

元の式から, かけて“$8$”になるのはわかっているので, “-1”をかけて $8$ になる数字。これは $-8$ しかありません。

これがわかると, $a$ の値も, もう１つの解もわかります。２つの数 $-1$ と $-8$ を足したものが $\rm a$ となるので, $\rm a=-9$。

$\rm x$ のもう１つの値も$\rm (x-1)(x-8)$ より, $8$ になります。

展開・因数分解の基礎をしっかりと理解していると, こっちの方が断然楽になります。残りの問題はこちらのアプローチで解いていきましょう。

解が２つわかっている場合

大問２：$\rm x^2+ax+b=0$ の解が $\rm x=3,x=5$ のときの, $\rm a, b$ の値を求めなさい。

通常で言うと $\rm x$ を１つずつ式に代入して連立方程式。これを解いて $\rm a,b$ を求めますが, 今回は, 元の式を逆算していくアプローチで解いていきます。

答えが $\rm 3$ と $\rm 5$ なので, その前の式は $\rm (x-3)(x-5)=0$。 普段の解く流れの「逆」ですね。展開したら元の式がわかります。

$\rm a$ に入る数は, ２つの数字を足したものなので, $\rm a=-3+(-5)=\textcolor{red}{-8}$。

$\rm b$ に入る数は２つの数字をかけたものなので, $\rm b=-3×(-5)=\textcolor{red}{15}$。

符号には気をつけないといけませんが, 慣れると簡単な問題ですね。

解がともに自然数である場合

大問３：$\rm x^2+ax+10=0$ の解がともに自然数のとき, $\rm a$ の値を求めなさい。

ポイントは「自然数」。解が自然数なので, １つ前の式は負の整数になります。

かけて $10$ を作る負の整数を考えると, その組み合わせは $(-1)×(-10)$ と $(-2)×(-5)$ 。

$\rm a$ の値はこれらを足したものになるので, $\rm (-1)+(-10)=\textcolor{red}{-11}$ と $(-2)+(-5)=\textcolor{red}{-7}$ になります。

今回は解と定数に関する問題でした。

解説動画はコチラ ↓

各PDFはコチラ↓
問題
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解答欄
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解答
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デジタル板書データはコチラ↓
2次方程式の解（aの値と他の解）
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