立体の容積に関する問題－２次方程式：中学３年生

今回は厚紙の端を切って容器を作るタイプの問題になります。それではみていきましょう。

４すみを切り取ってできた立体の容積

横が縦より $\rm 4cm$ 長い長方形の厚紙がある。この４すみから１辺が $\rm 3cm$ の正方形を切り取り, 直方体の容器をつくると, 容積は $\rm 96 cm^3$ になります。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めなさい。

最初のポイントは, １つの文字で縦・横の長さを表現することです。今回は縦を $\textcolor{blue}{\rm x}$ にして考えましょう。縦を $\rm x $ とすると, 横はそれより $\rm 4cm$ 長いので, $\textcolor{blue}{\rm x+4}$ と表すことができます。

正方形を切り取って点線部分を折ってできた容器の容積が $\rm 96cm^3$ ですから, 容器の縦・横の長さを考えましょう。

元の厚紙の縦の長さ $\rm x$ から正方形２つの $\rm 6cm$ を引いたものになるので, $\rm x-6$ となります。

同様に, 横の長さは, 元の長さ $\rm x+4$ から $\rm 6 cm$ を引いた $\rm x-2$ 。

容積には, あと高さが必要ですが, これは正方形の１辺 $\rm 3cm$ となります。

容積を求める式「縦×横×高さ」。これが $96$ なので, 式は $\textcolor{blue}{\rm (x-6)(x-2)×3=96}$ となります。

$×3$ は分配ではなく, 両辺を ”3” で割った方が簡単です。

左辺は$\textcolor{blue}{\rm x^2-8x+12}$。右辺は $32$。

これを左辺に移項して, $\textcolor{blue}{\rm x^2-8x-20=0}$

左辺を因数分解して, $\textcolor{blue}{\rm (x-10)(x+2)=0}$

よって, $\textcolor{blue}{\rm x=10,-2}$。

答えは注意が必要です。図形の問題なので“負の数”はＮＧです。さらに今回は, １辺 $\rm 3cm$ の正方形を２つ切り取るので最低 $\rm 6cm$ は必要となります。

$-2$ は答えに合わないので, 縦の長さは $\textcolor{red}{\rm 10cm}$ 。横の長さは $\rm x+4$ なので $10+4=\textcolor{red}{\rm 14cm}$ となります。

今回は, 厚紙の端を切って容器を作るタイプの問題でした。

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問題
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解答欄
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解答
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