数に関する問題－２次方程式：中学３年生

今回は数に関する問題についてみていきましょう。ある数 $\mathrm{x}$ から $5$ を引いた数と $\mathrm{x}$ $7$ 倍した数の積は, $\mathrm{x}$ の $2$ 乗の $2$ 倍に等しい。このとき, ある数 $\mathrm{x}$ を求めなさい。

ある数 $\mathrm{x}$ しかないんで比較的読みやすい問題とは思います。ポイントは, 文章中の「は」ですね。ここに等号 $(=)$ が入ることが多いです。今回だと,

ある数 $\mathrm{x}$ から $5$ を引いた数と $\mathrm{x}$ を $7$ 倍した数の積 $=$ $\mathrm{x}$ の $2$ 乗の $2$ 倍

これを式に表すと, $(\mathrm{x}-5)\mathrm{\times }7\mathrm{x}=2{\mathrm{x}}^2$ となります。

左辺は分配して, 右辺の $2{\mathrm{x}}^2$ を移項して計算すると, $5{\mathrm{x}}^2-35\mathrm{x}=0$

${\mathrm{x}}^2$ の前に $5$ があるので全体を割ってあげて, ${\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}=0$

因数分解して, $\mathrm{x}=0,7$

今回は両方ともが答えになります。仮に”自然数”とか書かれてたら０は省いてあげないといけないので, そこは注意しましょう。

連続する $3$ つの正の整数があり, もっとも小さい数ともっとも大きい数の積は, 真ん中の数の $3$ 倍より $39$ 大きい。このとき, これら $3$ つの整数を求めなさい。

ここではまず, 連続する $3$ つの正の整数(自然数)を文字 $(\mathrm{x})$ を使って表します。表し方としては $2$ パターンありますが, 比較的計算が楽になる真ん中の数を $\mathrm{x}$ でおくパターンで行っていきましょう。

小さい方の数は, $\mathrm{x}-1$ , 大きい方の数は $x+1$ と表すことができます。これら連続する $3$ つの数 $\mathrm{x}-1,\mathrm{x},\mathrm{x}+1$ から式を作っていきましょう。

問題文中の「は」を「$=$」とすると,

もっとも小さい数ともっとも大きい数の積 $=$ 真ん中の数の $3$ 倍より $39$ 大きい

なので, $(x+1)(x-1)=3x+39$

式が出来上がるとさっきと一緒で, 分配・展開をして式を整理する。${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}-40=0$

左辺を因数分解して, $(x-8)(x+5)=0$

よって, $\mathrm{x}=8,-5$ ですかね。

ここは自然数(正の整数)と問題文に書いてるので, $-5$ は問題には合いません。よって, 真ん中の数は $8$。

連続する $3$つの整数なので, 答えは $7,8,9$ となります。

図のカレンダーで, ある数 $\mathrm{x}$ の上の数に $\mathrm{x}$ の右の数をかけた数は, $\mathrm{x}$ に $8$ をかけて $7$ をひいた数に等しくなる。このとき, ある数 $\mathrm{x}$ を二次方程式を用いて求めなさい。

カレンダーは $\mathrm{x}$ を使った表し方押さえていれば特に問題ないと思います。

１箇所 $\mathrm{x}$ をおくと, $\mathrm{x}$ の上の数は $\mathrm{x}$ から $7$ を引いた数 $\mathrm{x}-7$, $\mathrm{x}$ の右の数は $x$ に $1$ を足した数 $\mathrm{x}+1$ になります。

あとは式を作っていきましょう。問題文中の「は」を「$=$」とすると,

ある数 $\mathrm{x}$ の上の数に $\mathrm{x}$ の右の数をかけた数 $=$ $\mathrm{x}$ に $8$ をかけて $7$ をひいた数

これを式に表すと, $(\mathrm{x}-7)(\mathrm{x}+1)=8\mathrm{x}-7$

式を整理すると, ${\mathrm{x}}^2-14\mathrm{x}=0$

左辺は共通因数 $\mathrm{x}$ でくくるタイプの因数分解。$\mathrm{x}(\mathrm{x}-14)=0$

よって, $\mathrm{x}=0,14$

カレンダーに $0$ はないので, 答えは $14$ となります。

今回は数に関する問題でした。

各PDFはコチラ↓
問題
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解答欄
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解答
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