展開の公式を利用することでいろいろな計算をすることができます。

まずは $\textcolor{blue}{4}$ つの乗法公式のおさらいです。どの公式が利用できるか確認して、いろいろな式の展開を考えてみましょう。

\begin{eqnarray} & &\textcolor{blue}{乗法公式① (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab}\\\\ & &\textcolor{blue}{乗法公式②(x+a)^2=x^2+2ax+a^2}\\\\ & &\textcolor{blue}{乗法公式③(x-a)^2=x^2-2ax+a^2}\\\\ & &\textcolor{blue}{乗法公式④(x+a)(x-a)=x^2-a^2} \end{eqnarray}

$ (3x+4)(3x-2)$ を展開するには、どの公式を使えばよいでしょうか。$3x$ をひとまとまりにし、$\textcolor{blue}{1}$ つの文字 ${\textcolor{blue}{\rm X}}$ におきかえると次のような式になります。

$(3x+4)(3x-2)$ → $(\textcolor{blue}{{\rm X}}+4)(\textcolor{blue}{{\rm X}}-2)$

ここで、乗法公式① $\textcolor{blue}{(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab}$ を利用

   $({\rm X}+4)({\rm X}-2)$　　$\textcolor{blue}{{\rm X}}$ の係数：和　定数項：積

$={\rm X}^2+2{\rm X}-8$　　$\textcolor{blue}{{\rm X}}$ を $\textcolor{blue}{3x}$ にもどす

$=(3x)^2+2×(3x)-8$　　

$=\textcolor{blue}{9x^2+6x-8}$

$ (6a+3b)(6a-3b)$ を展開するにはどの公式を使えばよいでしょうか。$\textcolor{blue}{6a}$ を $\textcolor{blue}{{\rm X}}$ 、$\textcolor{blue}{3b}$ を $\textcolor{blue}{{\rm A}}$ におきかえると次のような式になります。

$(6a+3b)(6a-3b) → (\textcolor{blue}{{\rm X}}+\textcolor{blue}{{\rm A}})(\textcolor{blue}{{\rm X}}-\textcolor{blue}{{\rm A}})$

ここで、乗法公式④ $\textcolor{blue}{(x+a)(x-a)=x^2-a^2}$ を利用。

　$({\rm X}+{\rm A})({\rm X}-{\rm A})$　　（和と差の積）

$={\rm X}^2-{\rm A}^2$　　$\textcolor{blue}{{\rm X}}$ を $\textcolor{blue}{6a}$ 、$\textcolor{blue}{{\rm A}}$ を $\textcolor{blue}{3b}$ にもどす

$=(6a)^2-(3b)^2$

$=\textcolor{blue}{36a^2-9b^2}$

$(3x-2y)^2$ を展開するにはどの公式を使えばよいでしょうか。$\textcolor{blue}{3x}$ を $\textcolor{blue}{{\rm X}}$ 、$\textcolor{blue}{2y}$ を $\textcolor{blue}{{\rm A}}$ におきかえると次のようになります。

$(3x-2y)^2$ → $(\textcolor{blue}{{\rm X}}-\textcolor{blue}{{\rm A}})^2$

ここで、乗法公式③ $\textcolor{blue}{(x-a)^2=x^2-2ax+a^2}$ を利用。

　 $({\rm X}-{\rm A})^2$　　（差の平方）

$={\rm X}^2-2{\rm AX}+{\rm A}^2$　　$\textcolor{blue}{{\rm X}}$ を $\textcolor{blue}{3x}$ 、$\textcolor{blue}{{\rm A}}$ を $\textcolor{blue}{2y}$ にもどす

$=(3x)^2-2×3x×2y+(2y)^2$

$=\textcolor{blue}{9x^2-12xy+4y^2}$