数に関する問題－２次方程式：中学３年生

今回は数に関する問題についてみていきましょう。ある数 $\rm x$ から $5$ を引いた数と $\rm x$ $7$ 倍した数の積は, $\rm x$ の $2$ 乗の $2$ 倍に等しい。このとき, ある数 $\rm x$ を求めなさい。

ある数 $\rm x$ しかないんで比較的読みやすい問題とは思います。ポイントは, 文章中の「は」ですね。ここに等号 $(=)$ が入ることが多いです。今回だと,

ある数 $\rm x$ から $5$ を引いた数と $\rm x$ を $7$ 倍した数の積 $=$ $\rm x$ の $2$ 乗の $2$ 倍

これを式に表すと, $\rm (x-5)×7x=2x^2$ となります。

左辺は分配して, 右辺の $\rm 2x^2$ を移項して計算すると, $\rm 5x^2-35x=0$

$\rm x^2$ の前に $5$ があるので全体を割ってあげて, $\rm x^2-7x=0$

因数分解して, $\rm x=0,7$

今回は両方ともが答えになります。仮に”自然数”とか書かれてたら０は省いてあげないといけないので, そこは注意しましょう。

連続する $3$ つの正の整数があり, もっとも小さい数ともっとも大きい数の積は, 真ん中の数の $3$ 倍より $39$ 大きい。このとき, これら $3$ つの整数を求めなさい。

ここではまず, 連続する $3$ つの正の整数(自然数)を文字 $(\rm x)$ を使って表します。表し方としては $2$ パターンありますが, 比較的計算が楽になる真ん中の数を $\rm x$ でおくパターンで行っていきましょう。

小さい方の数は, $\rm x-1$ , 大きい方の数は $x+1$ と表すことができます。これら連続する $3$ つの数 $\rm x-1,x,x+1$ から式を作っていきましょう。

問題文中の「は」を「$=$」とすると,

もっとも小さい数ともっとも大きい数の積 $=$ 真ん中の数の $3$ 倍より $39$ 大きい

なので, $(x+1)(x-1)=3x+39$

式が出来上がるとさっきと一緒で, 分配・展開をして式を整理する。$\textcolor{blue}{\rm x^2-3x-40=0}$

左辺を因数分解して, $(x-8)(x+5)=0$

よって, $\rm x=8,-5$ ですかね。

ここは自然数(正の整数)と問題文に書いてるので, $-5$ は問題には合いません。よって, 真ん中の数は $8$。

連続する $3$つの整数なので, 答えは $\textcolor{red}{\rm 7,8,9}$ となります。

図のカレンダーで, ある数 $\rm x$ の上の数に $\rm x$ の右の数をかけた数は, $\rm x$ に $8$ をかけて $7$ をひいた数に等しくなる。このとき, ある数 $\rm x$ を二次方程式を用いて求めなさい。

カレンダーは $\rm x$ を使った表し方押さえていれば特に問題ないと思います。

１箇所 $\rm x$ をおくと, $\rm x$ の上の数は $\rm x$ から $7$ を引いた数 $\textcolor{blue}{\rm x-7}$, $\rm x$ の右の数は $x$ に $1$ を足した数 $\textcolor{blue}{\rm x+1}$ になります。

あとは式を作っていきましょう。問題文中の「は」を「$=$」とすると,

ある数 $\rm x$ の上の数に $\rm x$ の右の数をかけた数 $=$ $\rm x$ に $8$ をかけて $7$ をひいた数

これを式に表すと, $\textcolor{blue}{\rm (x-7)(x+1)=8x-7}$

式を整理すると, $\textcolor{blue}{\rm x^2-14x=0}$

左辺は共通因数 $\rm x$ でくくるタイプの因数分解。$\textcolor{blue}{\rm x(x-14)=0}$

よって, $\rm x=0,14$

カレンダーに $0$ はないので, 答えは $\textcolor{red}{14}$ となります。

今回は数に関する問題でした。

各PDFはコチラ↓
問題
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解答欄
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解答
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